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微積分二 | 台大開放式課程線上共學社群
問題討論
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作業任務
(3/3)
共享筆記
目錄大綱
(55/55)
1. 新手出發
1. 社群共學進行方式
2. 問題討論和共享筆記方式
2. 課程內容
1. 導論 (一)：微分、積分與級數回顧；以積分重新構造對數與指數函數
2. 導論 (二)：冪級數回顧；指數函數；正弦、餘弦函數與它們的週期；π 是什麼？
3. 導論 (三)：弧長與可求長的曲線；Schwarz 的折面例子
4. 導論 (四)：代數基本定理
5. Abel 級數重寫引理及其應用
6. 關於冪級數的 Abel 定理
7. 關於 ODE
8. (複習) ODE 的概念與其幾何圖示；ODE 的首次積分
9. ODE 解的存在性與唯一性定理
10. (複習) Picard 迭代法；ODE 解的存在與唯一性定理
11. Lipschitz條件不滿足時唯一性不成立的ODE初值問題實例；ODE的極大延伸解
12. 【常微分方程】在物理中的例子：萬有引力定律、單擺
13. 【常微分方程】首次積分、保守立場與位能
14. 【角度函數】極坐標回顧；連續可微分平面運動的角度函數
15. 【常微分方程】自守型 ODE；解落在緊緻集中存活時間便無窮；相圖 (以單擺為例)
16. 【常微分方程】再訪常係數線性 ODE 的解：Picard 迭代法 vs. 自然底數以方陣為指數的值
17. 【常微分方程】角度函數問題的解答 (續 3/17 (B))；線性 ODE 解的存在與唯一性
18. 【常微分方程】連續平面運動均有連續角度函數
19. 【關於擺的討論】單擺回顧
20. 【關於擺的討論2】惠更斯擺 (Huygen's pendulum)
21. 【積分概念回顧】上、下和與上、下積分；可積函數
22. 【一些點集拓樸概念】賦距空間中一集合的內點、外點與邊界點
23. 【積分與逐次積分1】Fubini定理 (基本版)
24. 【積分概念】圖形(figure)與其上的積分
25. 【積分概念】Fubini定理(回顧)、Fubini定理進階版
26. 【多變數微分理論1】(回顧)可微性；導數矩陣/Jacobi矩陣；鎖鏈律
27. 【多變數微分理論2】梯度向量；(積分與偏導數混合版本的)均值定理
28. 【多變數微分理論3】局部最優化(極大值與極小值)與臨界點(critical pounts);函數的凸性;凸性與極值的二階導數判別法
29. 【如何描繪空間中的物件1】將方程式(等式)所描述的物件參數化的例子：(有號)極座標表示；隱函數與穩微分的想法
30. 【多變數微分理論4】隱函數與隱微分：隱函數定理(單個方程式的情形)
31. 【多變數微分理論5】拉格朗日乘子法 (Lagrange multiplier)
32. 【多變數微分理論6】隱函數定理(多個方程式的情形)
33. 【多變數微分理論7】(非正式討論)隱函數的概念與隱微分
34. 【如何描寫空間中的物件2】參數化觀點(image觀點)與方程式觀點(preimage觀點)
35. 【反函數定理1】(毫無啟發性的解說方式)
36. 【反函數定理2】
37. 【反函數定理3】以迭代法證明反函數定理；反函數定理與隱函數定理的關係
38. 【積分變數變換1】初等映射；將變數變換局部分解為初等映射的合成
39. 【積分變數變換2】一些關於映射與圖形(figure)的基本性質
40. 【積分變數變換3】任意維度的球體體積；高維度球座標；正交座標系
41. 【多變數瑕積分1】絕對收斂的瑕積分
42. 【多變數瑕積分2】幾個絕對收斂的瑕積分實例
43. 【曲線的基本概念1】(平面或空間中的)正則曲線；平面曲線的有號曲率(signed curvature)；空間曲線的曲率(curvature)與扭率(torsion)；Frenet活動標架
44. 【形心與重心的定義】(將在之後【曲線的基本概念2】用到)
45. 【曲線的基本概念2】積分變數變換公式搭配Frenet標架的應用:體積問題
46. 【曲面的面積1】三維空間中參數曲面的面積定義與其合理性
47. 【曲面的面積2】推廣: n維空間中的m維體積應該如何定義
48. 【古典向量分析1】功與向量場沿給定路徑的線積分
49. 【古典向量分析2】梯度場(保守場)的概念；一個向量場是梯度場的必要條件
50. 【古典向量分析3】（非正式討論）同倫 (homotopy)的概念；單連通空間
51. 【古典向量分析4】「一向量場是梯度場」若且唯若「它沿著連續可微曲線積分的值僅與端點有關」的詳細討論
52. 【古典向量分析5】滿足梯度場必要條件的向量場沿方塊映射的邊界曲線積分必為零
53. 【古典向量分析6】關於平面區域向量場的Green定理
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2. 導論 (二)：冪級數回顧；指數函數；正弦、餘弦函數與它們的週期；π 是什麼？
3. 導論 (三)：弧長與可求長的曲線；Schwarz 的折面例子
4. 導論 (四)：代數基本定理
5. Abel 級數重寫引理及其應用
6. 關於冪級數的 Abel 定理
7. 關於 ODE
8. (複習) ODE 的概念與其幾何圖示；ODE 的首次積分
9. ODE 解的存在性與唯一性定理
10. (複習) Picard 迭代法；ODE 解的存在與唯一性定理
11. Lipschitz條件不滿足時唯一性不成立的ODE初值問題實例；ODE的極大延伸解
12. 【常微分方程】在物理中的例子：萬有引力定律、單擺
13. 【常微分方程】首次積分、保守立場與位能
14. 【角度函數】極坐標回顧；連續可微分平面運動的角度函數
15. 【常微分方程】自守型 ODE；解落在緊緻集中存活時間便無窮；相圖 (以單擺為例)
16. 【常微分方程】再訪常係數線性 ODE 的解：Picard 迭代法 vs. 自然底數以方陣為指數的值
17. 【常微分方程】角度函數問題的解答 (續 3/17 (B))；線性 ODE 解的存在與唯一性
18. 【常微分方程】連續平面運動均有連續角度函數
19. 【關於擺的討論】單擺回顧
20. 【關於擺的討論2】惠更斯擺 (Huygen's pendulum)
21. 【積分概念回顧】上、下和與上、下積分；可積函數
22. 【一些點集拓樸概念】賦距空間中一集合的內點、外點與邊界點
23. 【積分與逐次積分1】Fubini定理 (基本版)
24. 【積分概念】圖形(figure)與其上的積分
25. 【積分概念】Fubini定理(回顧)、Fubini定理進階版
26. 【多變數微分理論1】(回顧)可微性；導數矩陣/Jacobi矩陣；鎖鏈律
27. 【多變數微分理論2】梯度向量；(積分與偏導數混合版本的)均值定理
28. 【多變數微分理論3】局部最優化(極大值與極小值)與臨界點(critical pounts);函數的凸性;凸性與極值的二階導數判別法
29. 【如何描繪空間中的物件1】將方程式(等式)所描述的物件參數化的例子：(有號)極座標表示；隱函數與穩微分的想法
30. 【多變數微分理論4】隱函數與隱微分：隱函數定理(單個方程式的情形)
31. 【多變數微分理論5】拉格朗日乘子法 (Lagrange multiplier)
32. 【多變數微分理論6】隱函數定理(多個方程式的情形)
33. 【多變數微分理論7】(非正式討論)隱函數的概念與隱微分
34. 【如何描寫空間中的物件2】參數化觀點(image觀點)與方程式觀點(preimage觀點)
35. 【反函數定理1】(毫無啟發性的解說方式)
36. 【反函數定理2】
37. 【反函數定理3】以迭代法證明反函數定理；反函數定理與隱函數定理的關係
38. 【積分變數變換1】初等映射；將變數變換局部分解為初等映射的合成
39. 【積分變數變換2】一些關於映射與圖形(figure)的基本性質
40. 【積分變數變換3】任意維度的球體體積；高維度球座標；正交座標系
41. 【多變數瑕積分1】絕對收斂的瑕積分
42. 【多變數瑕積分2】幾個絕對收斂的瑕積分實例
43. 【曲線的基本概念1】(平面或空間中的)正則曲線；平面曲線的有號曲率(signed curvature)；空間曲線的曲率(curvature)與扭率(torsion)；Frenet活動標架
44. 【形心與重心的定義】(將在之後【曲線的基本概念2】用到)
45. 【曲線的基本概念2】積分變數變換公式搭配Frenet標架的應用:體積問題
46. 【曲面的面積1】三維空間中參數曲面的面積定義與其合理性
47. 【曲面的面積2】推廣: n維空間中的m維體積應該如何定義
48. 【古典向量分析1】功與向量場沿給定路徑的線積分
49. 【古典向量分析2】梯度場(保守場)的概念；一個向量場是梯度場的必要條件
50. 【古典向量分析3】（非正式討論）同倫 (homotopy)的概念；單連通空間
51. 【古典向量分析4】「一向量場是梯度場」若且唯若「它沿著連續可微曲線積分的值僅與端點有關」的詳細討論
52. 【古典向量分析5】滿足梯度場必要條件的向量場沿方塊映射的邊界曲線積分必為零
53. 【古典向量分析6】關於平面區域向量場的Green定理
Lipschitz條件不滿足時唯一性不成立的ODE初值問題實例；ODE的極大延伸解
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