| 1 | 導論 | |
| 2 | 最小上界、最大下界、Dedekind cut、數列極限的定義與性質 | |
| 3 | 單調數列的收斂性、區間套定理、Cauchy 數列的概念 | |
| 4 | Cauchy 點列必收斂 | |
| 5 | 級數收斂的等價敘述、絕對收斂與條件收斂、比較審斂法、比值與開方根審斂法、交錯級數與 Leibniz 判別法 | |
| 6 | Dirichlet 級數重排定理(改變求和順序不影響絕對收斂級數的和)、Riemann 級數重排定理 (條件收斂可透過改變求和順序收斂到任意數) | |
| 7 | 絕對收斂級數的乘積逐項展開 | |
| 8 | 距離空間 (metric space)、開集與閉集 | |
| 9 | (前次定義複習) 開集與閉集的基本性質、賦距空間中點列極限的定義、Bolzano-Weierstrass 定理、開覆蓋、緊緻集、Heine-Borel 定理 | |
| 10 | (複習：緊緻性與Heine-Borel定理) 開覆蓋的Lebesgue數 | |
| 11 | 賦距空間中一子集的孤立點、極限點與聚集點 | |
| 12 | 賦距空間之間映射的極限 | |
| 13 | (複習：孤立點、極限點與聚集點、映射極限)映射的連續性與其等價敘述、賦距子空間的概念 | |
| 14 | (摘要整理：賦距子空間與連續映射)、連續映射保持緊緻性、連續函數在緊緻集上有最大值與最小值、中間值定理 | |
| 15 | (複習：連續映射/函數、映射限制到子空間上與連續性的關係) | |
| 16 | 以有理數為指數是什麼意思？ | |
| 17 | 以實數數為指數是什麼意思？ | |
| 18 | 指數函數與對數函數的構造與他們的性質(續) | |
| 19 | 映射/函數的均勻連續性、緊緻賦距空間上的連續映射必均勻連續、(補充)利用構造序列的方法證明連續函數的最大值與最小值存在 | |
| 20 | (續單元 18) 指數律、指數函數的連續性 | |
| 21 | 實數值函數的各類上、下極限、單實變數函數的左、右極限 | |
| 22 | 極限不存在的例子 | |
| 23 | 函數的導數與可微性 | |
| 24 | 函數的凸性與導數的關係 | |
| 25 | 指數函數與正、餘弦函數的導函數 | |
| 26 | 四則運算的求導法則 | |
| 27 | 反函數求導、合成函數求導(鍊鎖律) | |
| 28 | Rolle 定理、均值定理、L'Hospital 法則 | |
| 29 | (續單元 26 鍊鎖律) 在一點逼近給定函數到某階數的概念 | |
| 30 | 導數的符號與函數的單調性、偏導數、求最大最小值 | |
| 31 | (續11/03B) 以多項式在一點逼近給定函數到某階數─Taylor多項式 | |
| 32 | 第k個Taylor 多項式的k階逼近性質、Taylor逼近的餘項、以多項式逼近合成函數到k階的鍊鎖律 | |
| 33 | (單元 30 更正) 單變數函數極值發生在端點未必保證導數為0 | |
| 34 | (續單元 30) 求最大最小值實例 | |
| 35 | (續單元 32) 乘積與商的 Taylor 多項式 | |
| 36 | 部分期中考題檢討 | |
| 37 | (續單元 35) 乘積的k階多項式逼近 | |
| 38 | 多變數向量值函數的可微性、連續可微分性、多變數鍊鎖律 | |
| 39 | 函數列的均勻收斂、均勻收斂保持連續性 | |
| 40 | 完備賦距空間、對應域完備時一個函數列均勻Cauchy等價於均勻收斂、函數級數的Weierstrass M-檢驗 | |
| 41 | 填滿三角形的連續曲線 | |
| 42 | Weierstrass 的無處可微的連續函數 | |
| 43 | (續前單元) Weierstrass的無處可微的連續函數 | |
| 44 | 有號面積基礎理論；原函數/不定積分；分部積分與代換法求不定積分 | |
| 45 | 有界函數對區間分割的上、下和；上、下積分；Darboux 可積函數的基本性質；連續函數與單調函數均為 Darboux 可積 | |
| 46 | Darboux定理：Darboux積分等於Riemann和的極限 | |
| 47 | (討論)單元 45 課程中 37:08 的 Ex1. | |
| 48 | 可數集；測度為零的概念；Lebesgue的Darboux-Riemann可積性判別法 | |
| 49 | Darboux積分的回顧；不定積分時產生的「常數」 | |
| 50 | 不定積分的計算實例 ─ cosine 的冪次 | |
| 51 | 有理函數與一些涉及二次多項式平方根的函數的積分─部分分式分解與各類三角函數/雙曲函數代換 | |
| 52 | 三角/雙曲函數的有理組合的不定積分 | |
| 53 | Taylor展開式餘項的積分表達 | |
| 54 | 瑕積分 | |
| 55 | (續單元 54) 瑕積分的絕對收斂；Gamma函數 | |
| 56 | e 的超越性 | |
| 57 | (討論) [0,1] is not of measure 0 | |
| 58 | (討論) 定積分變數代換的上下限；1/(3+ sine 平方)的不定積分 | |
| 59 | Lebesgue的Darboux-Riemann可積性判別法 | |
| 60 | 均勻收斂與積分號下求極限 | |
| 61 | 正弦函數冪次的定積分及其推論 | |
| 62 | 【n! 的估計】Stirling公式 | |
| 63 | 積分對參數的微分與積分 | |
| 64 | 積分對參數的微分與積分瑕積分的情形 | |
| 65 | 積分對參數的微分與積分計算實例 | |